SEJARAH GEOMETRI ANALITIK

SEJARAH GEOMETRI ANALITIK

Geometri analitik merupakan kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan (equation) Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk mengklasifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat dua merupakan irisan kerucut (conic sections), dan kurva berderajat tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).

Descartes (sekitar tahun 1637) menggunakan bentuk baru persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik-titik yang berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan riil. Sebuah titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan riil (x,y). Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan pertama kali bentuk sumbu koordinat untuk menganalisis sebuah kurva secara aljabar, seperti terlihat dalam gambar berikut. 

Gambar 1. Diagram pertama yang digunakan Descartes untuk menganalisis kurva secara aljabar

(Sumber : Smith & Latham, 1957 : 50)

Dalam bukunya, Descartes (Smith & Latham, 1957) menuliskan “I choose a straight line, as AB, to attach to refer all its points…and in AB I choose a point A at which to begin the investigation… Then I draw through C the line CB parallel to GA. Since CB and BA are unknown and indeterminate quantities, I shall call one of them y and the other x.” Pernyataan Descartes tersebut mendeksripsikan mengenai sumbu koordinat x dan y. Selanjutnya Descartes menggunakan persamaan aljabar yaitu  untuk mengidentifikasi kurva tersebut. Terlihat pada gambar 1, kurva EC yang dinyatakan oleh persamaan tersebut memiliki bentuk hiperbola. Diagram tersebut menjadi awal penggunaan sistem koordinat Cartesius. Penamaan sistem koordinat ini dilakukan untuk menghormati karya pemikiran Rene Descartes.

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas berbagai teknik manipulasi aljabar sehingga dari persamaan tersebut diperoleh informasi mengenai kurva. Descartes telah menunjukkan bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh penyelesaian masalah geometri. Perkembangan tersebut memungkinkan penyelesaian berbagai masalah kompleks dan menghasilkan bidang kajian baru dalam matematika yaitu kalkulus dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan sains dan teknologi modern.

Geometri analitik diaplikasikan dalam berbagai ilmu pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia. Ilmuwan biologi menggunakan geometri analitik dalam bidang spektroskopi. Di bidang geografi, geometri digunakan untuk membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude, serta pengembangan global positioning system (GPS). Para ahli di bidang teknik sipil menggunakan geometri analitik untuk menggambarkan bangunan atau jembatan serta melakukan perhitungan berkaitan dengan bobot yang dapat ditanggung bangunan atau jembatan tersebut.

Gambar 2. Contoh aplikasi geometri analitik dalam kehidupan nyata

Di bidang pemrograman komputer, juga menggunakan geometri analitik untuk mengembangkan perangkat mouse, permainan video, animasi dan pengolahan citra digital seperti diperlihatkan dalam gambar berikut ini.

Gambar 3. Contoh aplikasi geometri analitik dalam bidang grafika komputer

Gambar di atas memperlihatkan proses manipulasi bentuk geometri pada pembuatan film animasi Monster,Inc yang dilakukan dengan bantuan perangkat lunak.  

Penggunaan Geogebra dalam Geometri Analitik

GeoGebra adalah software matematika yang dinamis dan bersifat open source untuk pembelajaran dan pengajaran matematika di sekolah. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter. Geogebra diunduh dari http://www.geogebra.org. Pada website ini juga telah disediakan berbagai contoh worksheet dan tutorial yang dapat digunakan untuk belajar tentang geometri, aljabar, kalkulus bahkan statistika. Agar Geogebra dapat dijalankan pada komputer atau laptop maka dibutuhkan perangkat lunak Java yang dapat diunduh secara gratis dari website http://www.java.com. Perkembangan Geogebra hingga bulan Desember 2016 yaitu telah tersedia versi IPad dan Android yang dapat diunduh secara gratis.

GeoGebra merupakan suatu sistem geometri dinamis sehingga pada Geobera dapat dilakukan berbagai kegiatan konstruksi dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, serta fungsi, dan mengubah hasil konstruksi selanjutnya. Di sisi lain, persamaan dan koordinat dapat dimasukkan secara langsung pada Input Bar yang disediakan. Hal ini dapat dimanfaatkan untuk menangani variabel / peubah untuk angka, vektor, titik, menemukan turunan atau integral fungsi. Kemampuan tersebut dimungkinkan karena Geogebra dikembangkan berdasarkan geometri analitik yang menggunakan prinsip-prinsip geometri dan aljabar secara komprehensif. Interface (tampilan) dasar GeoGebra dibagi dalam tiga bagian : Input Bar, Algebra View dan Graphic View seperti diperlihatkan dalam gambar berikut.

Gambar 4. Tampilan Dasar Geogebra

Algebra view digunakan untuk menampilkan dan mengubah obyek aljabar, Graphic View untuk menampilkan dan mengubah obyek geometri, dan Input Bar digunakan untuk memasukkan persamaan obyek.

Menu utama GeoGebra meliputi : File, Edit, View, Option, Tools, Windows, dan Help. Menu File menyediakan fasilitas untuk membuat, membuka, menyimpan, mengekspor file, dan keluar program. Menu Edit dipakai untuk mengedit lukisan. Menu View digunakan untuk pengaturan tampilan jendela kerja. Menu Option digunakan untuk pengaturan huruf, pengaturan obyek-obyek geometri, dan sebagainya. Perangkat konstrukdi diaktifkan melalui Menu Tools seperti diperlihatkan pada gambar di samping. Sedangkan menu Help menyediakan petunjuk teknis penggunaan GeoGebra.

Gambar 5. Menu Tools

Perangkat konstruksi (Construction tools) Geogebra meliputi : sepuluh perangkat (tools) yang berkaitan dengan : movement (untuk pergerakan obyek), point (titik), line (garis), special line, polygon, circle and arc, conic section (irisan kerucut), measurement (pengukuran sudut, panjang, luas, gradien), transformation, special object, action object, dan general tools.  Perangkat tersebut juga dapat diaktifkan menggunakan ikon seperti terlihat pada gambar berikut. 

Gambar 6. Ikon perangkat konstruksi Geogebra

Keterampilan menggunakan perangkat-perangkat tersebut dilatih melalui kegiatan eksplorasi