BAB 1 TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

BAB 1

TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) yang biasa digunakan sebagai berikut.

1)   Teorema 1.1

Ada titik P yang dikelilingi oleh banyak titik lain yang berjarak sama yaitu d sehingga membentuk lingkaran yang berpusat dititik P.

2)   Teorema 1.2

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l.

3)   Teorema 1.3

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar

4)   Teorema 1.4

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l₁ dan l₂ merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

5)   Teorema 1.5

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l₁ dan l₂, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l₁ dan l₂

6)   Teorema 1.6

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)

7)   Teorema 1.7

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya

8)   Teorema 1.8

Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

9)    Teorema 1.9

Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

Pemecahan Masalah Polya

Pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu :  understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :

1)        Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.         Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.          Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)        Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.         Menemukan pola

b.         Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.         Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.        Membuat tabel

e.         Membuat diagram / gambar

f.          Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.         Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.         Bekerja mundur (work backward)

i.           Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.         Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.         Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.         Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Memeriksa dengan pembuktian

b.         Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

c.         Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut

Contoh penerapan pemecahan masalah : “Tentukan banyaknya titik potong jika 5 garis saling berpotongan”

Tahap pemecahan masalah :

1)        Understanding the Problem

a.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Menentukan banyaknya titik potong dari garis-garis yang berpotongan à Ditanyakan

b.         Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalah itu ?

Lima garis saling berpotongan, misalnya garis a, b, c, d, dan e à Diketahui

2)        Devising a Plan

Strategi yang dipilih untuk menyelesaikan masalah ini yaitu :

a.       Membuat diagram / gambar

Pertama akan dibuat dua garis berpotongan yaitu a dan b. Kemudian akan digambar garis ketiga yaitu c yang memotong garis a dan b dan seterusnya

b.      Membuat tabel

Berdasarkan gambar akan dibuat tabel yang memuat hubungan antara banyak garis berpotongan dan banyak titik potong

c.       Menemukan pola

Berdasarkan tabel akan ditemukan pola yang tepat untuk masalah ini

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah yaitu menggunakan strategi untuk memecahkan masalah.

a.       Membuat diagram / gambar

b.      Membuat tabel dan menemukan pola

Banyak garis berpotongan	Banyak titik potong	Pola
2	1	1
3	3	1 + 2
4	6	1 + 2 + 3
5	10	1 + 2 + 3 + 4

Jadi disimpulkan jika lima garis berpotongan satu sama lain maka banyaknya titik potong yang terbentuk adalah 10 titik

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable) berikut :

                             i.               Jika dua garis a dan b berpotongan maka terdapat satu titik potong P

                           ii.               Jika garis ketiga c memotong dua garis a dan b yang saling berpotongan di P maka garis ketiga itu memotong masing-masing garis di satu titik yaitu c memotong a di Q dan c memotong b di R sehingga seluruhnya ada tiga titik potong

                         iii.               Jika garis keempat d memotong garis a, b, dan c yang saling berpotongan seerti pada point (ii) maka d memotong a di S, d memotong b di R, dan d memotong c di S sehingga seluruhnya ada 6 titik potong

                         iv.               Dengan demikian jika garis kelima e memotong garis a, b, c dan d yang saling berpotongan maka seluruhnya ada 6 + 4 = 10 titik potong

b.         Melakukan pengujian untuk banyaknya titik potong dari 10 garis berpotongan

Pola yang diperoleh sebagai berikut :

2 garis berpotongan menghasilkan 1 titik potong

3 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 = 3 titik potong

4 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 = 6 titik potong

5 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 = 10 titik potong

Dengan demikian :

10 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 titik potong

Pembuktian Teorema 1.3

Tahap 1      : Akan dibuktikan untuk sembarang titik pada kedudukan tersebut memenuhi kondisi-kondisi berikut :

Diketahui   : Titik A dan B

                  Ruas garis  tegak lurus dan membagi ruas garis

Ditanyakan : Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis  berjarak sama dari A dan B yaitu  ?

Rencana    :    Gambar/Sketsa permasalahan :

Bukti tahap 1

Pernyataan	Alasan
1.     adalah ruas garis membagi dua dan tegak lurus (^) 2.    Ukuran sudut PEA dan sudut PEB sama yaitu 3.    Ukuran panjang ruas garis 4.    5.    6.	1.    Diketahui 2.    Kedua sudut adalah sudut siku-siku. Semua sudut siku-siku kongruen 3.    Agar dapat membagi dua sama besar maka ruas garis dibagi menjadi bagian-bagian yang kongruen 4.    Sifat refleksif 5.    Kekongruenan dua segitiga (s.a.s) 6.    Hukum kongruensi

  JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR

Gambar 14. Posisi dua titik pada bidang datar yang memiliki jarak

Pada gambar 14, dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.

2) Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.

3) Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB

4) Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras:

Lalu, kita misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar 15.

Gambar 15.

Maka jarak titik A dan B yaitu,