BAB IV Kurva Berderajat Dua ( Lingkaran )

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu

Persamaan Umum kurva berderajat 2

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 ,

Dengan nilai A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = konstan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dengan jari-jari r satuan adalah

x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari-jari r satuan adalah

(x-a)² + (y-b)² = r²

Sifat Geometris dari lingkaran yaitu suatu lingkaran memiliki jari-jari yang sama terhadap satu titik pusat

Sifat Aljabar suatu lingkaran yaitu persamaan lingkaran dengan jari-jari r adalah x² + y² = r²

Esentristitas (e) adalah perbandingan jarak titik Fokus ketitik P (d) dan titik P ke garis Direktris (d’)

                e =   → e = 1 jika d = d’

                                e < 1 jika d < d’

                                e > 1 jika d > d’

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Contoh

1.       Tentukan Persamaan Garis Singgung lingkaran x² + y² = 25 sejajar gais y = 2x + 3 .

Identifikasi masalah

Diketahui : titik P (0,0) , dengan r = 5

h : y = 2x + 3 , maka m_h  = 2

misalkan garis singgung lingkaran k sejajar dengan h , maka mk = mh

Ditanya : P1 dan P2 ..?

Jawab : P1 dan P2 adalah titik pada lingkaran, maka x₁² + y₁² = 25 , x₂² + y₂² = 25

P1 dan k pada garis singgung, maka y = 2x₁ + c , y = 2x₂ + c,

Substitusikan nilai x² + y² = 25 sejajar gais y = 2x + c

x² + (2x + c)² = 25

x² + 4x² + 4xc + c² = 25

5x² + 4cx + c²  - 25 = 0

Agar memiliki solusi real, maka D = 0

b²- 4ac = 0

(4c)² – 4(5)( c²  - 25) = 0

16c² – 20c²- 500 = 0

4c² = 500

c² = 125

c₁ = 5√5

c₂ = -5√5

Masukkan ke persamaan y = 2x + c , menjadi y = 2x + 5√5 dan y = 2x - 5√5

Jika diketahui garissinggung y = mx +n dan lingkaran x² + y² = r² , maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + n yaitu

y = mx+ k dimana k = ±r    ,

 sehingga diperoleh garis singgung

y = mx + r dan y = mx - r

2.       Jika diketahui persaman (x-2)² + (y-3)² = 16 . apakah A(5 , 9) beradadi luar atau di dalam lingkaran atau pada lingkaran.

Penyelesaian : Substitusikan titik A(5 , 9)  pada persamaan (x-2)² + (y-3)² = 16

                                Menjadi  (5-2)² + (9-3)² = 16

                                                                9 + 36    = 16

                                                                58           ≥ 16

Karena 58 ≥ 16 , berarti titik A berada di luar lingkaran