BAB II GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

A. Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

        Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

         Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2) Þ    A(1) + B(2) + C = 0 Þ    A + 2B + C = 0 -------------------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4) Þ   A(3) + B(-4) + C = 0 Þ   -3A + 4B + C = 0 -------------- pers. 2

Garis melalui C(5, 0) Þ    A(5) + B(0) + C = 0 Þ     5A + C = 0 ---------------------- pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel

 𝐴+ 2𝐵 + 𝐶 = 0

-3𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 0

5𝐴 + 𝐶 = 0 

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis

yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

         Sudut inklinasi garis  yaitu Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dan biasanya dinotasikan oleh sudut a.

        Gradien adalah Kemiringan suatu garis. Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

    

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Contoh 2

       Persamaan kurva berderajat satu pada contoh 5 dapat diubah menjadi persamaan garis bergradien dengan langkah sebagai berikut.
   

            +

maka gradien garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) adalah m = - ½ yaitu bergradien negatif. Sudut inklinasi yang dibentuk garis tersebut yaitu :

  Pertanyaan 3 - 1 :     Deskripsikan bentuk masing-masing garis berdasarkan gradien dan sudut inklinasi yang ditunjukkan pada gambar berikut 

Gambar 3. Berbagai bentuk garis dengan gradient dan sudut berbeda

Penyelesaian
Diketahui  : Empat garis berbeda p = AB, q = AC, r = BC, dan s = BD
Ditanyakan : Bentuk garis p, q, r dan s berdasarkan gradien dan sudut inklinasi … ?
 
Identifikasi masalah :  Tiap garis melalui paling sedikit dua titik berbeda. Jika diketahui koordinat kedua titik yang dilalui garis maka dapat ditentukan persamaan garis bergradien dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Atau dapat menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku untuk menentukan gradien suatu garis. Sebagai contoh garis p = AB melalui titik A(1, 1) dan B(5, 4). Ruas garis 𝐴𝐵 merupakan hipotenusa dari segitiga
siku-siku ADB. Kemiringan garis AB membentuk sudut  BAD sehingga kemiringan garis dapat ditentukan dari nilai tangen ukuran sudut BAD  

 Sudut inklanasi garis ditentukan dengan mencari nilai arc tan dari gradien.


 

Langkah penyelesaian  :

Cara 1        : Metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) untuk garis r = BC yang melalui titik B(5, 4) dan C(7, 1)

Langkah 1   :     Substitusi koordinat titik-titik ke dalam persamaan garis y = mx + c

Garis melalui titik B Þ 4 = 5m + c

Garis melalui titik C Þ 1 = 7m + c

Langkah 2   :     Metode eliminasi SPLDV

  4 = 5m + c
1 = 7m + c  -
3 = -2m
𝑚 =  −3/2
 
4 = 5m + c  | x7     28 = 35m + 7c
1 = 7m + c  | x5     5 = 35m + 5c -
                                 23 = 2c
                                  𝑐 =23/2 
langkah 3   :     Substitusi nilai m dan c ke dalam persamaan garis y = mx + c

Persamaan garis yaitu  

Pertanyaan 3 - 2               : Gambarkan dan tentukan persamaan garis-garis yang masing-masing memiliki gradien m = 1 dan melalui salah satu titik berikut. Garis h melalui titik O(0,0), garis k melalui titik K(2, 3) dan garis l melalui titik L(-2, -3)

Penyelesaian :
Diketahui	:	Tiga garis h, k dan l masing-masing bergradien mh = mk = ml = 1.
		Tiga titik O(0, 0), K(2, 3), dan L(-2, -3) masing-masing dilalui garis h, k, atau l.
Ditanyakan	:	Gambar dan persamaan garis h, k dan l … ?

Identifikasi masalah :    Jika diketahui gradien garis dan sebuah titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garis dapat ditentukan dengan cara mensubtitusikan nilai gradien dan koordinat titik ke dalam persamaan garis bergradien m yaitu y

=   mx + c. Misalkan garis memiliki gradien m dan melalui titik (x0, y0) maka diperoleh persamaan : y0 = m x0 + c selanjutnya dapat diselesaikan dengan tahapan berikut :

y = mx + c

y0 = mx0 + c -

y - y0 = m(x - x0)

Persamaan yang diperoleh dinamakan persamaan garis bergradien m dan melalui sebuah titik (x0, y0). Untuk dapat menggambarkan garis maka perlu ditentukan sudut inklinasi garis tersebut dengan menggunakan rumus

a  = arc tan m.

Langkah penyelesaian  :

Langkah 1   :    Substitusi koordinat titik dan gradien ke persamaan garis y - y0 = m(x - x0)

Persamaan garis h dengan mh = 1 dan melalui O(0, 0) yaitu y - 0 = 1(x - 0) Þ y = x Persamaan garis k dengan mk = 1 dan melalui K(2, 3) yaitu y - 3 = 1(x - 2) Þ y = x + 1

Persamaan garis l dengan ml = 1 dan melalui L(-2, -3) yaitu y + 3 = 1(x + 2) Þ y = x - 1

Langkah 2   :     Menentukan sudut inklinasi garis

Karena gradien ketiga garis sama yaitu mh = mk = ml = 1 maka sudut inklinasi garis h, k dan l yaitu _ℎ

  = = = tan 1 ≈ 0,7854 = 45°

Langkah 3   :    Menggambar garis berdasarkan gradien dan sebuah titik

1)            Buatlah titik-titik yang dilalui garis pada sistem koordinat Cartesius.

2)            Buatlah sinar-sinar yang sejajar sumbu x dari masing-masing titik

3)            Buatlah sinar kedua dari masing-masing titik sehingga membentuk sudut 45° terhadap sinar pertama lalu perpanjang sinar kedua sehingga membentuk garis.

      

Gambar garis di atas menunjukkan bahwa garis k dapat diperoleh dengan menggeser garis h sejauh satu satuan ke kanan sedangkan garis l diperoleh dengan menggeser garis h sejauh satu satuan ke kiri. Jadi, konstanta c pada persamaan garis y = mx + c menjadi konstanta translasi (pergeseran) garis y = mx. Gambar tersebut juga menunjukkan bahwa ketiga garis h, k dan l yang memiliki gradien mh = mk = ml merupakan garis-garis yang saling sejajar satu sama lain.

B.  Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan

Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar. Perhatikan bentuk garis-garis pada gambar berikut.

Gambar 4. Garis-garis yang memotong sumbu koordinat Cartesius

        Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis. Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x. Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.

C. Persamaan Normal Sebuah Garis

      Garis Normal adalah Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0, 0).
Perhatikan gambar di samping.
       Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis 𝑅𝑂 di mana O(0, 0) dan R titik pada garis l.
      Besar sudut β menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis l. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis 𝑅𝑂. Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO di mana ∡ 𝐴𝑅𝑂 = 90° .
 Sudut inklinasi garis l yaitu 𝛼 =  ∡𝑋𝐴𝑅 = 180° −  ∡𝑅𝐴𝑂 = 90°+  𝛽

Untuk menghitung panjang garis normal, kita dapat menggunakan rumus :

                                                      

Ruas garis AB adalah bagian dari garis l dan termasuk dalam kemiringan suatu garis, dimana untuk menentukan kemiringan garis (gradient) kita dapat menggunakan rumus :

m = tan α

m = tan ( 𝛽 + 90°)

α = arc tan m

    Persamaan normal dari garis adalah  x cos β + y sin β - p = 0

            Persamaan normal dari Ax + By + C = 0

 

Dari persamaan normal diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa jarak titik asal 0 ke garis lurus dengan persamaan Ax + By + C = 0  adalah