PARABOLA, ELIPS DAN HIPERBOLA

IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Sebuah kerucut apabila kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section).

Kurva berderajat dua atau sering juga disebut irisan kerucut, terdiri dari 4 macam bentuk

1. Lingkaran

2. Elips

3. Parabola

4. Hiperbola

Gambar 1. Irisan Kerucut

Irisan kerucut memiliki komponen-komponen sebagai berikut;

1. Esentrisitas (e)

Esentrisitas adalah perbandingan jarak titik fokus ke suatu titik dengan jarak titik tersebut ke garis direktris.

2. Direktris (d)

Direktris adalah sebuah garis yang memiliki jarak terhadap titik fokus

3. Titik Fokus (F)

Gambar 1. Komponen-komponen pada kurva berderajat dua

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol

1. PARABOLA
   

   Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

   
   Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).
   
   Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d₁ = d₂, kita mendapatkan,
   
   Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.
   

   Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks
   Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.
   Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.

   Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut.
   Contoh 1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
   Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.
   Pembahasan Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:
   
   Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
   
   Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.
   Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari f ke (x, y) adalah 2p. Karena d₁ = d₂, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|.
   Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x ± h)2 = 4p(y ± k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).
    
2. ELIPS
   Elips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
   
   
   a. Ellips with horizontal major axis
   

   

   Gambar 1. Elips dengan horizontal major axis

   
   

   KET:

   F₁ dan F₂ adalah titik fokus elips

   P dan Q adalah titik acuan à |PQ| = 2a

   Dari definisi elips, kita dapat mencari persamaan elips. Misalkan titik-titik fokus F₁ ,F₂ pada sumbu x dan sumbu dari F₁F₂ adalah sumbu y. Jika |F₁F₂| = 2c maka F₁(-c,0) dan F₂(c,0). Misalkan jumlah jarak yang tetap itu adalah 2a dengan a > c.

   Dengan A(x,y) sebarang titik yang memenuhi definisi, yaitu:

   

   

   

   
   

   b. Ellips with vertical major axis

   

   Gambar 2. Elips dengan vertical major axis

   Persamaan elips dengan vertical major axis adalah,

   

   
   

   c. Elips horizontal dengan titik pusat (h,k)

   
   

   

   Gambar 3. Elips horizontal major axis dengan titik pusat (h,k)

   
   

   Persamaan elips dengan vertical major axis adalah,

   

   
   

   d. Elips horizontal dengan titik pusat (h,k)

   

   Gambar 4. Elips vertical major axis dengan titik pusat (h,k)

   
   

   Persamaan elips dengan vertical major axis adalah,

   

   
   

   GARIS SINGGUNG ELIPS

   
   

   

   Gambar 5. Garis Singgung pada Elips

   
   Suatu garis lurus dapat memotong elips, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung elips. Dalam hal yang terakhri garis dan elips tidak mempunyai titik persekutuan. Kita akan mencari persaman garis singgung yag gradiennya m.
   

   Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + p maka persamaan garis singgungnya:

   
   

   

    Garis akan menyinggung elips jika titik-titik potongnya berimpit. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua kara yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.
   

   

    Jadi, persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah,
   

   

   
   

   PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DI TITIK PUSAT (α,β)
   

   Misalkan persamaan elips

   

   Dengan menggunakan tarnslasi susunan sumbu, kita memperoleh persamaan garis singgung pada elips yang berpusat P(α,β) dengan gradien m adalah
    
3. HIPERBOLA
1.  Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.
   
   Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).
   • F₁( -c, 0) dan F₂(c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a.
   • Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.
   • Sumbu mayor adalah A₁A₂, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B₁B₂, panjangnya 2b.
   • Titik A₁ dan A₂ disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.
   • Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah
   
   
   2b2a
   • Persamaan asimtot hiperbola adalah
   
   
   • Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.
   • Persamaan garis direktriks adalah
   
   
   • Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.
   
4. Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah

x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0).
Titik puncak adalah A₁(a, 0) dan A₂(-a, 0).
Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah

y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(0, c) dan F₂(0, -c).
Titik puncak adalah A₁(0, a) dan A₂(0, -a).
Persamaan asimtotnya adalah

Agar kamu lebih paham, coba cermati contoh soal berikut.
Contoh 1:
Tentukan persaman asimtot dari persamaan

x29−y216=1

Penyelesaian:
Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu x. Akibatnya, a² = 9 dan b² = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.
Persamaan asimtotnya adalah

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p + c, q) dan F₂(p – c, q).
Titik puncak adalah A₁(p + a, q) dan A₂(p – a, q).
Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah

(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p, q + c) dan F₂(p, q – c)
Titik puncak adalah A₁(p, q + a) dan A₂(p, q – a).

ersamaan asimtotnya adalah

BAB IV Kurva Berderajat Dua ( Lingkaran )

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu

Persamaan Umum kurva berderajat 2

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 ,

Dengan nilai A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = konstan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dengan jari-jari r satuan adalah

x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dengan jari-jari r satuan adalah

(x-a)² + (y-b)² = r²

Sifat Geometris dari lingkaran yaitu suatu lingkaran memiliki jari-jari yang sama terhadap satu titik pusat

Sifat Aljabar suatu lingkaran yaitu persamaan lingkaran dengan jari-jari r adalah x² + y² = r²

Esentristitas (e) adalah perbandingan jarak titik Fokus ketitik P (d) dan titik P ke garis Direktris (d’)

                e =   → e = 1 jika d = d’

                                e < 1 jika d < d’

                                e > 1 jika d > d’

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Contoh

1.       Tentukan Persamaan Garis Singgung lingkaran x² + y² = 25 sejajar gais y = 2x + 3 .

Identifikasi masalah

Diketahui : titik P (0,0) , dengan r = 5

h : y = 2x + 3 , maka m_h  = 2

misalkan garis singgung lingkaran k sejajar dengan h , maka mk = mh

Ditanya : P1 dan P2 ..?

Jawab : P1 dan P2 adalah titik pada lingkaran, maka x₁² + y₁² = 25 , x₂² + y₂² = 25

P1 dan k pada garis singgung, maka y = 2x₁ + c , y = 2x₂ + c,

Substitusikan nilai x² + y² = 25 sejajar gais y = 2x + c

x² + (2x + c)² = 25

x² + 4x² + 4xc + c² = 25

5x² + 4cx + c²  - 25 = 0

Agar memiliki solusi real, maka D = 0

b²- 4ac = 0

(4c)² – 4(5)( c²  - 25) = 0

16c² – 20c²- 500 = 0

4c² = 500

c² = 125

c₁ = 5√5

c₂ = -5√5

Masukkan ke persamaan y = 2x + c , menjadi y = 2x + 5√5 dan y = 2x - 5√5

Jika diketahui garissinggung y = mx +n dan lingkaran x² + y² = r² , maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + n yaitu

y = mx+ k dimana k = ±r    ,

 sehingga diperoleh garis singgung

y = mx + r dan y = mx - r

2.       Jika diketahui persaman (x-2)² + (y-3)² = 16 . apakah A(5 , 9) beradadi luar atau di dalam lingkaran atau pada lingkaran.

Penyelesaian : Substitusikan titik A(5 , 9)  pada persamaan (x-2)² + (y-3)² = 16

                                Menjadi  (5-2)² + (9-3)² = 16

                                                                9 + 36    = 16

                                                                58           ≥ 16

Karena 58 ≥ 16 , berarti titik A berada di luar lingkaran