VEKTOR PADA BIDANG

VEKTOR PADA BIDANG

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama. Suatu vector dinyatakan dengan :

Vektor-vektor  pada gambar 1 dinamakan vector bebas

Suatu vector (gambar 2) yang titik pangkal tertentu dan vector-vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vector demikian dinamakan vector posisi (vector letak).

Penjumlahan Vektor
Ada dua cara penjumlahan vector yaitu sebagai berikut.

• Cara Segitiga

Untuk memperoleh jumlah dua vector u dan v , yaitu u + v, gambarlah vector v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vector u. Maka u + v adalah vector yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vector v.

• Cara Jajargenjang

Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vector v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal pada vector u. selanjutnya dibuat garis dariujung u  sejajar v dan dari garis ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajar genjang. Maka u + v adalah vector yang bertitik pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang.

Hubungan Vektor dengan bidang Koordinat Kartesius

Untuk menyatakan koordinat-koordinat suatu vector pada bidang kartesius digunakan tanda kurung siku yaitu u= <u₁,u₂> atau [u₁   u₂] atau dengan notasi kolom

Penjumlahan vektor pada bidang kartesius

Pada gambar diatas dapat dengan mudah kita artikan bahwa :
u + v = <u₁, u₂> + <v₁, v₂> = <u₁ + v₁ , u₂+ v₂ >
Teorema :
Untuk sebarang vector u, v  dan w  dan sebarang scalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini.

• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• u + o = o + u = u
• u + u = o
• a (b u) = (ab) u = u (ab)
• a (u + v) = au + av
• (a + b) u = au + bu
• 0 u = 0 u = o
• 1 u = u

Perkalian dua vektor

Dengan |u| adalah panjang ruas vektor u

Teorema :
Jika  vector u, v  dan w  dan sebarang scalar c berlaku sifat-sifat berikut ini

• u . v = v . u
• u . ( v + w ) = u . v + u . w
• c (u . v) = (u) .v = c . ( u .v )
• o . u = 0
• u . u =
• u . v = 0 bila dan hanya bila u tegak lurus dengan v  atau u = 0 atau  v  = 0

Persamaan Parametrik  suatu garis lurus

• Persamaan parametrik garis yaitu

Karena vector QP sejajar dengan v, sehingga QP = k . v  dan QP = p – q = k. v  dengan  k  suatu parameter.
Dengan vector p, q, dan v adalah sebagai berikut
 p = [ x     y ]
q = [a     b]
v = [r       s]
Oleh karena QP = p – q = k. v , jadi kita peroleh :
[ x     y ] – [a     b] = k . [r       s]
x – a = k r
y – b = k s
Sehingga kita peroleh persamaan parametricnya adalah
x = a + k r  dan  y = b + k s

Persamaan Parametrik Suatu Lingkaran.

Ambil vector posisi sebarang titik V(x,y) pada lingkaran, yaitu v = <x,y> = xi + yj.

Mengingat bahwa  v . v = |v|², maka persamaan lingkaran yang dimaksud adalah v . v = r²

Dari persamaan ini, jika v  diganti <x , y> maka diperoleh
<x , y> . <x , y> = r²
x² + y² = r²
Perhatikan gambar dibawah ini.

V(x,y) sebarang titik pada lingkaran yang vector posisinya v = <x , y>
Misalkan p = <a , b > adalah vector posisi titk P.
Maka PV = v – p. Karena  PV . PV = | PV|² = r dan V sebarang titik pada lingkaran, maka (v – p) . (v – p) = r² adalah suatu persamaan vector yang dicari.
Persamaan kartesiusnya dicari dengan mensubtitusikan v = <x , y> dan
p = <a , b > maka diperoleh
(<x , y>  – <a , b>) . (<x , y>  – <a , b>) = r²
< x – a , y – b > . < x – a , y – b > = r²
Mengingat persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah
x = a + r cos t ; y = b + r sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π
Maka persamaan vector lingkaran dapat dinyatakan oleh
v(t) = (a + r cos t)i + (b + r sin t)j.
v(t) = < a + r cos t , b + r sin t >.