VEKTOR PADA RUANG DIMENSI

Gambar 4. Vektor pada koordinat kartesius dimensi tiga

Dalam ruang-ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat dan aplikat. Misalnya B(x₁, y_1, z₁). Vektor posisi (terhadap titik O) untuk titik B adalah a = < x₁, y_1, z₁> = x₁i, y₁j_, z₁k.

Vektor-vektor basis i,j,k berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif dan z positif.

Semua sifat penjumlahan vekotr dan perkalian vekotr dengan skalar yang berlaku dalam bidang datar juga berlaku untuk vektor dalam ruang dimensi tiga.

PANJANG VEKTOR

Jika a = < x₁, y_1, z₁> maka panjang vektor a adalah,

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃>, maka perkalian titiknya didefinisikan sebagai berikut

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi

Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,

PERKALIAN VEKTOR

Jika u = < u₁, u_2, u₃> dan v = < v₁, v_2, v₃> maka perkalian kedua vektor adalah,

HASIL KALI SILANG DUA VEKTOR

Perkalian silang dua vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k didefinisikan sebagai berikut,

Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

KOORDINAT KARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI

Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus saling tegak lurus yang di namakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, II,...VIII.

Gambar 1. Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga

Ket:

Sumbu x = absis

Sumbu y = ordinat

Sumbu z = aplikat

Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy

Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berada dibawah bidang xy

POSISI TITIK PADA KOORDINAT KARTESIUS RUANG DIMENSI

Gambar 2. Posisi Titik Pada Koordinat Kartesius Ruang Dimensi Tiga

Titik O(0,0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol.

Untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat dan aplikatnya.

JARAK ANTAR TITIK PADA RUANG DIMENSI TIGA

Gambar 3. Jarak Antar Titik

Rumus jarak antara A(x₁, y_1, z₁) dan C(x₂, y_2, z₂)

PERSAMAAN BIDANG DATAR

Persamaan linier bidang datar ialah,

Dengan A, B, C ≠ 0

Persamaan umum bidang yag melalui P(x₁, y_1, z₁) dan tegak lurus pada vektor n = adalah

Jika diketahui dua bidang, yaitu A₁x + B₁y + C₁z = D dan A₂x + B₂y + C₂z = D, maka:

1.Jika θ adalah suatu sudut antara dua bidang ini, maka

 2.      Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

3.      Dua bidang tersebut sejajar, apabila

 4.      Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

Jika d adalah jarak titik P(x₁, y_1, z₁) ke bidang Ax + By + Cz = D maka

Contoh:

Persamaan bidang yang melalui P(1,2,3) dan tegak lurus n = <3> adalah

Maka, persamaan bidangnya,

TUGAS

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut:

Bidang P(1,2,3) Tegak Lurus dengan vektor n = <3>

Penyelesaian:

untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka z = 0

x = 6

sehingga (6,0,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = 0

z = 3

sehingga (0,0,3)

untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 4

sehingga (4,0,0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = -2

sehingga (0,-2,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 2

sehingga (0,0,2)

Dari persamaan bidang (1,2,3) tegak lurus vektor n = <3> didapatlah persamaannya:

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 3,3

sehingga (3,3;0;0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = 5

sehingga (0,5,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 10

sehingga (0,0,10)

Dari penyelesaian di atas, terbentuklah tiga bidang, dan tiga bidang tersebut bertemu di suatu titik, maka dapat disimpulkan bahwa tiga bidang yang terbentuk memiliki titik potong.

VEKTOR PADA BIDANG

VEKTOR PADA BIDANG

Vektor adalah himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama. Suatu vector dinyatakan dengan :

Vektor-vektor  pada gambar 1 dinamakan vector bebas

Suatu vector (gambar 2) yang titik pangkal tertentu dan vector-vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu itu, maka vector demikian dinamakan vector posisi (vector letak).

Penjumlahan Vektor
Ada dua cara penjumlahan vector yaitu sebagai berikut.

• Cara Segitiga

Untuk memperoleh jumlah dua vector u dan v , yaitu u + v, gambarlah vector v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vector u. Maka u + v adalah vector yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vector v.

• Cara Jajargenjang

Cara ini dilakukan dengan menggambarkan vector v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal pada vector u. selanjutnya dibuat garis dariujung u  sejajar v dan dari garis ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajar genjang. Maka u + v adalah vector yang bertitik pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit dengan diagonal jajaran genjang.

Hubungan Vektor dengan bidang Koordinat Kartesius

Untuk menyatakan koordinat-koordinat suatu vector pada bidang kartesius digunakan tanda kurung siku yaitu u= <u₁,u₂> atau [u₁   u₂] atau dengan notasi kolom

Penjumlahan vektor pada bidang kartesius

Pada gambar diatas dapat dengan mudah kita artikan bahwa :
u + v = <u₁, u₂> + <v₁, v₂> = <u₁ + v₁ , u₂+ v₂ >
Teorema :
Untuk sebarang vector u, v  dan w  dan sebarang scalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut ini.

• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• u + o = o + u = u
• u + u = o
• a (b u) = (ab) u = u (ab)
• a (u + v) = au + av
• (a + b) u = au + bu
• 0 u = 0 u = o
• 1 u = u

Perkalian dua vektor

Dengan |u| adalah panjang ruas vektor u

Teorema :
Jika  vector u, v  dan w  dan sebarang scalar c berlaku sifat-sifat berikut ini

• u . v = v . u
• u . ( v + w ) = u . v + u . w
• c (u . v) = (u) .v = c . ( u .v )
• o . u = 0
• u . u =
• u . v = 0 bila dan hanya bila u tegak lurus dengan v  atau u = 0 atau  v  = 0

Persamaan Parametrik  suatu garis lurus

• Persamaan parametrik garis yaitu

Karena vector QP sejajar dengan v, sehingga QP = k . v  dan QP = p – q = k. v  dengan  k  suatu parameter.
Dengan vector p, q, dan v adalah sebagai berikut
 p = [ x     y ]
q = [a     b]
v = [r       s]
Oleh karena QP = p – q = k. v , jadi kita peroleh :
[ x     y ] – [a     b] = k . [r       s]
x – a = k r
y – b = k s
Sehingga kita peroleh persamaan parametricnya adalah
x = a + k r  dan  y = b + k s

Persamaan Parametrik Suatu Lingkaran.

Ambil vector posisi sebarang titik V(x,y) pada lingkaran, yaitu v = <x,y> = xi + yj.

Mengingat bahwa  v . v = |v|², maka persamaan lingkaran yang dimaksud adalah v . v = r²

Dari persamaan ini, jika v  diganti <x , y> maka diperoleh
<x , y> . <x , y> = r²
x² + y² = r²
Perhatikan gambar dibawah ini.

V(x,y) sebarang titik pada lingkaran yang vector posisinya v = <x , y>
Misalkan p = <a , b > adalah vector posisi titk P.
Maka PV = v – p. Karena  PV . PV = | PV|² = r dan V sebarang titik pada lingkaran, maka (v – p) . (v – p) = r² adalah suatu persamaan vector yang dicari.
Persamaan kartesiusnya dicari dengan mensubtitusikan v = <x , y> dan
p = <a , b > maka diperoleh
(<x , y>  – <a , b>) . (<x , y>  – <a , b>) = r²
< x – a , y – b > . < x – a , y – b > = r²
Mengingat persamaan parametric suatu lingkaran dengan pusat P(a,b) dan berjari-jari r adalah
x = a + r cos t ; y = b + r sin t ; 0 ≤ t ≤ 2π
Maka persamaan vector lingkaran dapat dinyatakan oleh
v(t) = (a + r cos t)i + (b + r sin t)j.
v(t) = < a + r cos t , b + r sin t >.

KOORDINAT KUTUB

A. SISTEM KOORDINAT KUTUB/ KOORDINAT POLAR

Koordinat kutub atau lebih dikenal dengan koordinat polar

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patoka muka. Biasanya sinar garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti pada gambar 1. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama O disebut kutub atau titik asal.

 Gambar 1. Koordinat Polar

 Sebuah titik P(selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh jarak O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P dan θ adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r,θ)

Gambar 2. Koordinat Polar

a.       Koordinat polar dengan titik pada lingkaran

 Gambar 3. Koordinaat Polar dengan titik pada lingkaran

 Koordinat titik A à A(r,θ)

 Gambar 4. Koordinaat Polar dengan titik pada lingkaran

 Koordinat titik B à B(r,α)

b.       Koordinat polar dengan titik di dalam lingkaran

Gambar 5. Koordinaat Polar dengan titik di dalam lingkaran lingkaran

Koordinat titik C à C(r-b,-γ)

HUBUNGAN KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Misalkan dalam sistem koordinat kartesius, sumbu x positif dipandang pula sebagai sumbu kutub dan titik asal O (dalam sistem koordinat kartesius) dipandang pula sebagai titik asal dari sistem koordinat kutub. Maka titik A dalam sistem koordinat kartesius yang dinyatakan sebagai A(r,θ) dalam sistem koordinat kutub

Gambar 6. Koordinat Polar pada Koordinat Kartesius 

Perhatikan ∆OBA siku-siku di B, maka dapat diperoleh jarak |OA| yaitu,

Karena siku-siku di B, maka dapat diperoleh,

Karena OA = r, maka

Sehingga kita dapat menentukan harga θ,

Contoh:

Misalkan |OB| = 4 dan sudut XOB = 135^o. Tentukan koordinat B pada koordinat kartesius

Gambar 7. Contoh soal

Maka koordinat B pada koordinat kartesius adalah B(-2,828;2,828)

B. PERSAMAAN KUTUB

a. Jika fungsi y = x

b. Jika fungsi y = -x

Contoh:

Persamaan fungsi dalam koordinat polar dengan jarijari r = 4. Persamaan fungsi dalam koordinat Kartesius adalah..

Jawab: